Introduction to Linear Algebra Chapter 1

2019/03/17

この記事では世界標準MIT教科書 ストラング:線形代数イントロダクションの第1章をまとめる。

1.1 ベクトルと線形結合

ベクトル和

$$ v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \end{bmatrix} , w = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix} , v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ \end{bmatrix} $$

差についても同様

スカラー積

$$ cv = \begin{bmatrix} cv_1 \\ cv_2 \\ \end{bmatrix} $$

零ベクトル

全ての要素が0であるベクトル$0$を零ベクトルと呼ぶ

線形結合

N個のベクトル$v_n$と定数$c_n$に対して、以下を$v_n$の線形結合と呼ぶ

$$ \sum_{i=1}^{n}c_i v_i $$

$v_n$すべてが線形独立(後述)である場合、$v_n$の線形結合はN次元空間を張る

1.2 長さと内積

内積

要素数が等しくNである2つのベクトル$v, w$について、以下を内積と呼ぶ

$$ v \cdot w = \sum_{i=1}^{n} v_i w_i $$

ベクトルの長さ

$$ \lVert v \rVert = \sqrt{v \cdot v} $$

ベクトル$v$を矢印として平面に書き起こす際、その長さと$\lVert v \rVert$は一致する

単位ベクトル

以下の式を満たすベクトル$u$を単位ベクトルと呼ぶ

$$ u = \lVert u \rVert = u \cdot u = 1 $$

また、任意の非零ベクトル$v$をその長さ$\lVert v \rVert$で割ると単位ベクトルを得る

2つのベクトル間の角度

内積の値により3パターンに分かれる

2つのベクトルの余弦

単位ベクトル$u, U$の内積は余弦となる

$$ u \cdot U = cos \theta\ \ ( |cos \theta| \leq 1 ) $$

単位ベクトルではない$v, w$については、長さで割ることで余弦を得る

$$ \frac{v \cdot w}{\lVert v \rVert \lVert w \rVert} = cos \theta\ \ (|cos \theta| \leq 0) $$

また、以上の余弦の式から以下の2つの不等式が得られる

1.3 行列

行列を用いた線形結合の表現

線形結合を、行列とベクトルの積として以下のように書くことが可能

$$ Ax = \begin{bmatrix} \\ u & v & w \\ \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ d \\ e \end{bmatrix} = cu + dv + ew $$

また内積を用いて以下のように表現することも可能

$$ Ax = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3}) \cdot (x_1,x_2,x_3) \\ (a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3}) \cdot (x_1,x_2,x_3) \\ (a_{3,1},a_{3,2},a_{3,3}) \cdot (x_1,x_2,x_3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n} a_{1j}x_j \\ \sum_{j=1}^{n} a_{2j}x_j \\ \sum_{j=1}^{n} a_{3j}x_j \end{bmatrix} $$

逆行列

$BAx = x$となるような行列$B$を$A$の逆行列と呼び、$A^{-1}$と表す

逆行列と線形結合$Ax = b$について、以下が成り立つ

線形独立と線形従属

3個のベクトル$u, v, w$について、$w$が$u, v$の張る平面内にない場合に線形独立となり、平面内にある場合に線形従属となる。詳しくは第2章以降に述べる

線形独立な列ベクトルは、$Ax = 0$に1つの解を持つ. Aは可逆行列(第2章参照)である
線形従属な列ベクトルは、$Ax = 0$に多数の解を持つ. Aは非可逆行列(第2章参照)である