2019/03/25

線形代数イントロダクション Chapter 2まとめ

Chapter 2の内容をIntroduction to Linear Algebra Chapter 2にまとめた

線形代数イントロダクション SES 7 Reading & Video Lecture

Reading

零空間の話。N(A)はAx = 0を満たす全てのxから成る。これを零空間と呼ぶ。
N(A)が0ベクトルただ1つから成る時、Aは線形独立である。そうでない場合は線形従属である。
N(A)を求めるためには、まずAに前進消去を行う。
その結果から、ピボットのある列に対応する変数(ピボット変数)、そうでない変数(自由変数)を求める。
自由変数のうちただ1つの変数aの係数を1, 他を0として後進代入を行う。この結果のベクトルにaを掛けたものをAのaに関する特解と呼ぶ。
全てのaに対して特解を求める。N(A)はそれらの特解の線形結合となる。
Paragraph 1を言い換えると、前進消去の結果ピボットの無い行が現れた時にAは線形独立となる。
n x mでn < mであるような行列はm - n個の自由変数があり、必ず線形従属になる。

Video Lecture

Readingの内容に加え、pivot rows & columnsから成る行列I, free rows & columnsから成る行列F, rref = [I F; 0 0]を定義し、rref x N = 0であるようなNがN(A)全体を表すことを確認した。
また、階数rの定義と、列数 (=n) - rがピボット変数の数であることを確認した。
詳しくは教科書のSES 8部分を読む。

線形代数イントロダクション SES 8 Reading

Chapter 3.3 Reading

階数rは行列の本当の大きさを与える。列空間の次元とも表される。rはピボットの個数である。
階数1の場合、全ての列ベクトルはピボットが存在する列uを通る直線上にある。(uはAの列)
また、ピボットを持つ行からv^Tが求められ、A = uv^Tとなる。Ax=0により、ここからuv^Tx = 0 <-> v^Tx = 0が導かれる。内積が0であるため、つまり零空間にある全てのxは行空間に含まれるvに直交する。
ピボットを持つ行と列は線形独立である。逆にピボットを持たない行と列は線形従属である。
特に列について、ピボット列はそれ以前の列の線形結合ではない。逆に自由列はそれ以前の列ベクトルの線形結合である。
ピボットを持つ行はpivcolと表される。pivcolには列を左から数えた時の、ピボットを持つ列の番号が入る。
Nは特解を列ベクトルに持つ行列。
Fを自由列のみから成る行列とすると、R = [I F; 0 0], N = [-F; I]とも表現可能。
どのようなEからも常に同じRが求まる。Eは消去の手順E{ij}, P{ij}と、ピボット1を作るための割る手順D^{-1}から計算される。
Aが可逆であるときEA = R = Iであり、EはA^{-1}となる。

線形代数イントロダクション Problem Set 2

AssignmentのProblem Set 2を解く。

24 and 40 from section 2.5
13, 18, 25, and 26 from section 2.6
13, 36, and 40 from section 2.7
18, 23, 30, and 32 from section 3.1

2.5の2問, 2.6の4問, 2.7の問13を解いた。採点はしていない。
プログラムを書くような問題がいくつかあり、その解答は https://github.com/unigiriunini/Introduction-to-Linear-Algebra に置いた。