2019/04/06

線形代数イントロダクション SES 10 Reading

線形独立の定義, nとmとrの大きさによる線形独立・従属の判断方法の復習。

「張る」の定義。ベクトルの集合による線形結合によってある空間が満たされる時、ベクトルの集合が空間を張ると表現する。集合に線形従属なベクトルが含まれてもよい。

C(A)は行列Aの列空間であり、行空間はC(A^T)である。

「基底」の定義。線形独立であり、空間を張るようなベクトルの集合を基底と呼ぶ。ある基底について、ベクトルvを表す線形結合は1つしか存在しない。
n x nの可逆行列は空間R^nを張る。非可逆であれば、ピボット列の集合が列空間を張る。

あるベクトル空間の基底は数多くあるが、基底のベクトル数は常にその空間の次元数となる。

線形代数イントロダクション SES 10 Video Lecture

行列Aについて、4つのsubspace C(A), N(A), C(A^T) (= row space), N(A^T) (= left null space) が挙げられる。

Aがm x nの時、C(A), N(A^T)がR^mであり、N(A), C(A^T)がR^nである。

C(A)とC(A^T)のrankは同一。そのため4つのsubspaceそれぞれについて、基底と次元は以下のようにまとめられる。

R = rref(A)を行への基本操作によって求めた時、C(A) != C®となる可能性はあるが、必ずC(A^T) = C(R^T)となる。また、この時の基底はRの最初のr行。

N(A^T)の基底についても上記AとRから求められる。
Chapter 2において、ガウス-ジョルダンの消去法ではE[A I] = [I A^{-1}]を導いた。これはEA = IであるようなAを選んでいたためである。
Chapter 3ではEA = Iとは限らず、E[A I] = [R E]となる。この時、Rの行ベクトルが0となっている位置のEの行が基底となる。

以降、行列空間について。詳しくはSES 11 Video Lectureにて。

線形代数イントロダクション Assignments Problem set 3

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/assignments/

18, 24, 36, and 37 from section 3.2
19, 25, 27, and 28 from section 3.3. Problem 17 is optional but recommended
13, 25, 28, 35 (MATLAB recommended) and 36 from section 3.4

section 3.2, 3.3, 3.4 13を解いた。